Bài 1.25 trang 16 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}\), TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

\(y' = \dfrac{{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)

Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên \(D\).

Xét  \(g\left( x \right) = {x^2}-2mx-2{m^2} + 3\) là tam thức bậc hai hệ số \(a > 0\) nên nếu nó không đổi dấu với mọi \(x \ne m\) thì \(\Delta ' = {m^2} + 2{m^2} - 3 \le 0\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 1\).

Khi \(-1 < m < 1\) thì phương trình \(g\left( x \right) = 0\) vô nghiệm hay \(y' = 0\) vô nghiệm và \(y'\; > 0\) với mọi \(x \ne m\). Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi \(m = 1\) hoặc \(m =  - 1\), hàm số đã cho trở thành \(y = x + 3\) (với \(x \ne 1\)) hoặc \(y = x-3\) (với\(x \ne  - 1\)). Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi \(-1 \le m \le 1\).