Bài 1.23 trang 16 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5\)  có cực trị tại \(x = 1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Lời giải chi tiết

\(y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5\)

Ta có:  \(y' = 3{x^2} - 2mx + m - \dfrac{2}{3}\)

Hàm số có cực trị tại \(x = 1\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 3 - 2m + m - \dfrac{2}{3} = 0\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{3}\).

Thử lại, với \(m = \dfrac{7}{3}\) thì hàm số đã cho trở thành: \(y = {x^3} - \dfrac{7}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}x + 5\)

Ta có:  \(y' = 3{x^2} - \dfrac{{14}}{3}x + \dfrac{5}{3}\); \(y'' = 6x - \dfrac{{14}}{3}\)

Vì \(y''\left( 1 \right) = 6 - \dfrac{{14}}{3} > 0\)  nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và  \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\).