Bài 1.31 trang 17 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số sau không có cực trị: \(y = \dfrac{1}{3}m{x^3} + m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 2\)

A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 2\)

B. \(m \ge 0\)

C. \(0 \le m \le 2\)

D. \(m \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = m{x^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)\).

Hàm số đã cho không có cực trị nếu \(y'\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\)

TH1: Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị (thỏa mãn y/c)

TH2: Nếu m ≠ 0 thì \(y'\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right) = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' = {m^2} - 2m\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - {m^2} + 2m \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m \ge 2\end{array} \right.\).

Kết hợp với TH1 ta được \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 2\).

Chọn A.