Bài 13 trang 197 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) và một dây \(CD\). Qua \(C\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(CD\), cắt \(AB\) tại \(I\). Các tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) của nửa đường tròn cắt đường thẳng \(CD\) theo thứ tự tại \(E\) và \(F\). Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác \(AECI\) và \(BFCI\) nội tiếp được;

b) Tam giác \(IEF\) vuông.

Lời giải chi tiết

a)

Tứ giác \(AECI\) có \(\widehat {EAI} + \widehat {ECI} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) do đó tứ giác \(AECI\) nội tiếp được.

Tứ giác \(BFCI\) có \(\widehat {FCI} + \widehat {IBF} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\) do đó tứ giác \(BFCI\) nội tiếp được.

b) Xét \(\Delta IEF \) và \(\Delta CAB\) có:

\(\widehat {{E_1}} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CI\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AECI\))

\(\widehat {{F_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CI\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFCI\))

\( \Rightarrow \Delta IEF \backsim \Delta CAB\) (g.g).

\( \Rightarrow \widehat {EIF} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng).

Ta lại có \(\widehat {ACB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\(\Rightarrow \widehat {EIF} = {90^o}\).

Vậy tam giác \(IEF\) vuông tại \(I\).