Bài 11 trang 197 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O;R)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính \(BB'\). Nối \(B'A,B'D,B'C\).

\( \widehat {B'DB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow DB' \bot BD\)

Mặt khác \(AC\bot BD\) (gt)

\( \Rightarrow DB'//AC\)

Vì \(AC//DB'\) nên  \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {CB'D} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

Mà  \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\( \Rightarrow sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {CB'D}\).

\( \Rightarrow AB' = CD\) (các dây cung chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)    (1)

Ta có \(\widehat {BAB'} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BAB'\) có:

\(A{B^2} + AB{'^2} = BB{'^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(A{B^2} + C{D^2} = BB{'^2}\)

Hay \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).