Bài 1.20 trang 16 SBT giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(y = \sin 2x\)

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

- Tính \(y''\) và xét dấu của \(y''\) tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Giải chi tiết:

\(y = \sin 2x\)               

Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)

Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:

\(y' = 2\cos 2x\)

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr 
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Lại có: \(y'' =  - 4\sin 2x\);

\(y''\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi  \over 4}) = 1\)

\(y''\left( {\dfrac{3\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\dfrac{3\pi }{4}} \right) =  4 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \dfrac{3\pi }{4}\) và \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) =  - 1\)

Vậy trên R ta có:

\({y_{CĐ}} = y({\pi  \over 4} + k\pi ) = 1;\)

\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) =  - 1,k \in Z\)

LG b

\(y = \cos x - \sin x\)

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)

- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).

- Tính \(y''\) và xét dấu của \(y''\) tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Giải chi tiết:

Hàm số tuần hoàn chu kỳ \(\pi\) nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).

Ta có: \(y' =  - \sin x - \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x =  - \cos x\) \( \Leftrightarrow \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

Do \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\).

Lại có \(y'' =  - \cos x + \sin x\);

+) \(y''\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2  < 0\) nên \(x =  - \dfrac{\pi }{4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \).

+) \(y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) + \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 2  > 0\) nên \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \sqrt 2 \).

Vậy trên \(\mathbb{R}\) thì \({x_{CD}} =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \sqrt 2 \); \({x_{CT}} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) =  - \sqrt 2 \)

LG c

\(y = {\sin ^2}x\)

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}\)

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).

Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \end{array} \right.\).

Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi  \over 2}\) với \(k\) chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi  \over 2}\) với \(k \) lẻ, và \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0\); \({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi  \over 2}) = 1(m \in Z)\).