Giải bài 12 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\;\)  đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\;-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Chọn điểm \(M\left( {-1;{\rm{ }}-1} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( M \right).\)

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ

Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó \({y_N}\; = {\rm{ }}0,\) suy ra \({x_N}\; = {\rm{ }}-2.\)Do đó \(N\left( {-2;{\rm{ }}0} \right).\)

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm \(M'\left( {-1;{\rm{ }}1} \right)\) và \(N\left( {-2;{\rm{ }}0} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {M'N}  = \left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow {\vec n_{d'}} = \left( {1; - 1} \right)\)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1; - 1} \right)\) nên có phương trình là:

\(1.\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

b) Đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\;-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có tâm I(2; –4), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 5} \right)}  = 5\)

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Oy}}.\)

Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua \({Đ_{Oy}}.\)  và có bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}5.\)

Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( I \right).\)

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy

Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua \({Đ_{Oy}}.\) là: \({\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}\; = {\rm{ }}25.\)