Bài 11 trang 194 SBT toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình :

LG a

\( \left\{ \begin{gathered} \frac{2}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = 3 \hfill \\ \frac{1}{{x + y}} - \frac{3}{{x - y}} = 1 \hfill \\\end{gathered}\right.\)

Phương pháp giải:

Đưa về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ.

Sử dụng phương pháp cộng đại số:

+) Bước \(1:\) Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước \(2:\) Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x \ne  \pm y.\) Đặt \(u = \dfrac{1}{{x + y}};v = \dfrac{1}{{x - y}}.\) Hệ phương trình trở thành : \(\left\{ \begin{gathered}2u + v = 3 \hfill \\ u - 3v = 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right.\,\,\,\,\left(  *  \right)\).

Giải hệ phương trình \(\left(  *  \right)\) ta được :\(\left\{ \begin{gathered}2u + v = 3 \hfill \\ u - 3v = 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)\(\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}2u + v = 3 \hfill \\ 2u - 6v = 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)\(\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}7v = 1 \hfill \\ u - 3v = 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)\(\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}v = \dfrac{1}{7} \hfill \\ u  = 1 +3.\dfrac{1}{7}\hfill \\ \end{gathered}  \right.\) 

\(\Rightarrow\left\{ \begin{gathered}u = \frac{{10}}{7} \hfill \\ v = \frac{1}{7} \hfill \\\end{gathered}  \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{1}{{x + y}} = \frac{{10}}{7} \hfill \\\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{7} \hfill \\\end{gathered}  \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x + y = \frac{7}{{10}} \hfill \\  x - y = 7 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  2x =   \frac{{77}}{{10}} \hfill \\ y = x-7 \hfill \\\end{gathered}  \right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  x =   \frac{{77}}{{20}} \hfill \\ y =  \frac{{77}}{{20}}-7 \hfill \\\end{gathered}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  y =  - \frac{{63}}{{20}} \hfill \\ x = \frac{{77}}{{20}} \hfill \\\end{gathered}  \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là : \(\left( {\dfrac{{77}}{{20}}\,\,;\,\, - \dfrac{{63}}{{20}}} \right).\)

LG b

\(\left\{ \begin{gathered}  3\sqrt x  - 2\sqrt y  =  - 2 \hfill \\2\sqrt x  + \sqrt y  = 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)

Phương pháp giải:

Đưa về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ.

Sử dụng phương pháp cộng đại số:

+) Bước \(1:\) Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+) Bước \(2:\) Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x \geqslant 0;y \geqslant 0.\) Đặt \(\sqrt x  = u\left( {u \geqslant 0} \right),\sqrt y  = v\left( {v \geqslant 0} \right).\) Hệ phương trình trở thành :

\(\left\{ \begin{gathered} 3u - 2v =  - 2 \hfill \\  2u + v = 1 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} 3u - 2v =  - 2 \hfill \\  4u +2 v = 2 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{gathered} 7u=  0 \hfill \\  4u +2 v = 2 \hfill \\\end{gathered}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u = 0 \hfill \\  v = 1 \hfill \\\end{gathered}  \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt x  = 0 \hfill \\\sqrt y  = 1 \hfill \\\end{gathered}  \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  x = 0 (tm)\hfill \\  y = 1(tm) \hfill \\\end{gathered}  \right.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right).\)