Bài 109* trang 30 SBT toán 6 tập 2

Đề bài

Cho hai phân số \(\displaystyle {8 \over {15}}\) và \(\displaystyle {{18} \over {35}}\). Tìm số lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số này cho số đó ta được kết quả là số nguyên.

Lời giải chi tiết

Gọi phân số lớn nhất cần tìm là \(\displaystyle {a \over b}\) \((ƯCLN (a, b) = 1).\)

Ta có:

+) \(\displaystyle {8 \over {15}}:{a \over b} = {8 \over {15}}.{b \over a} = {{8b} \over {15{\rm{a}}}}\) là số nguyên \(\displaystyle \Rightarrow 8b \;⋮ \;15a.\) 

\(ƯCLN (8; 15) = 1\) và \(ƯCLN (a, b) = 1\)

 Suy ra \(8 \;⋮ \; a\) và \(b \;⋮ \; 15.\)                     \((1)\)

+) \(\displaystyle {{18} \over {35}}:{a \over b} = {{18} \over {35}}.{b \over a} = {{18.b} \over {35.a}}\) là số nguyên \(\displaystyle \Rightarrow 18b \;⋮ \;35a.\) 

\(ƯCLN (8; 35) = 1\) và \(ƯCLN (a, b) = 1\)

Suy ra \(18\;⋮ \; a\) và \(b\;⋮ \; 35.\)                   \((2)\) 

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle a \in ƯC\left( {8;18} \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)

\(\displaystyle b \in BC\left( {15;35} \right) = \left\{ {0;105;210;...} \right\}\)

Vì \(\displaystyle {a \over b}\) lớn nhất nên \(a\) lớn nhất, \(b\) nhỏ nhất khác \(0.\)

Vậy phân số cần tìm là \(\displaystyle {2 \over {105}}.\)