Bài 101* trang 29 SBT toán 6 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.

Lời giải chi tiết

Lấy phân số bất kì \(\displaystyle {a \over b}\) với \(a > 0, b > 0.\) Không mất tính tổng quát giả sử \(0 < a ≤ b.\)

Đặt \(b = a + m\; (m ∈ Z, m ≥ 0).\)

Số nghịch đảo của \(\displaystyle {a \over b}\) là \(\displaystyle {b \over a}.\) Ta có :

\(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)

              \(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)

              \(\displaystyle = {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\)            \((1)\)

Ta có: \(\displaystyle {m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi \(m = 0\)).

Suy ra: \(\displaystyle {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} \)\(\displaystyle= {{a + m} \over {a + m}} = 1\)         \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2.\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(m = 0\) hay \(a = b.\)