Giải bài 1 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho \(\sin \alpha  = \frac{3}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sin 2\alpha \);

b) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)\);

c) \(\tan \left( {2\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

Do đó, \(\cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}  =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)
a) \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = 2.\frac{3}{4}.\frac{{ - \sqrt 7 }}{4} = \frac{{ - 3\sqrt 7 }}{8}\);

b) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - \sqrt 7 }}{4}.\frac{1}{2} - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - \sqrt 7  - 3\sqrt 3 }}{8}\);

c) \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{ - \sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{ - 3\sqrt 7 }}{7}\), \(\tan 2\alpha  = \frac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\sqrt 7 \)

\(\tan \left( {2\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan 2\alpha  - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan 2\alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{3\sqrt 7  - 1}}{{1 + 3\sqrt 7 .1}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 7  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {3\sqrt 7  - 1} \right)\left( {1 + 3\sqrt 7 } \right)}} = \frac{{32 - 3\sqrt 7 }}{{31}}\).