Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 8 - Bài 5, 6 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm; AC = 4cm, phân giác của hai góc B và C cắt nhau tại I. Vẽ IH, IK lần lượt vuông góc với AB và AC. Tính khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\) (cm) (định lý Pytago).

AI là phân giác của \(\widehat A\) \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2} = \dfrac{{\widehat A}}{2} = {45^0}.\)

Do đó \(\Delta AHI\) và \(\Delta AKI\) là các tam giác vuông cân \( \Rightarrow AH = IH\) và \(AK = IK.\)

Mặt khác vì I thuộc phân giác góc A nên \(IH = IK \Rightarrow IH = IK = AK = AH.\)

Kẻ \(I{\rm{D}} \bot BC\), ta cũng có \(I{\rm{D}} = IH\).

Gọi ba cạnh của tam giác ABC là a, b, c. Đặt \(AH = x\) ta có \(BH = B{\rm{D}} = c - x\);

Tương tự \(CK = C{\rm{D}} = b - x,\) mà \(a = B{\rm{D}} + C{\rm{D}}\) nên \(a = c - x + b - x \)

\(\Rightarrow x = \dfrac{{b + c - a} }{ 2} = \dfrac{{4 + 3 - 5} }{2} = 1\) (cm).

Vậy \(HI = I{\rm{D}} = IK = x = 1\) (cm).

Cách 2:

\(IH = IK = I{\rm{D}} = x;\)\(\;{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC} }{ 2} = 6.\)

\(\eqalign{   {S_{\Delta ABC}} &= {S_{\Delta AIC}} + {S_{\Delta AIB}} + {S_{\Delta BIC}} \cr&= {1 \over 2}IK.AC + {1 \over 2}IA.AB  \cr  & {\rm{        }} = {x \over 2}(ac + ab + bc) = 6x \cr} \)      

\(\Rightarrow x = 1. \)