Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 10 - Bài 1 - Chương 1 - Hình học 9

Đề bài

Cho \(∆ ABC\) cân tại A. Vẽ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng:

\({1 \over {B{K^2}}} = {1 \over {B{C^2}}} + {1 \over {4A{H^2}}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: ∆ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow HB = HC = {{BC} \over 2}\) (1)

Kẻ \(HI ⊥ AC\), ta có HI là đường trung bình của ∆BKC

\( \Rightarrow HI = {{BK} \over 2}\) (2)

Lại có: ∆AHC vuông có đường cao HI.

\( \Rightarrow {1 \over {H{I^2}}} = {1 \over {H{C^2}}} + {1 \over {A{H^2}}}\) (3) (định lí 4)

Thay (1), (2) vào (3), ta có:

\({1 \over {{{\left( {{{BK} \over 2}} \right)}^2}}} = {1 \over {{{\left( {{{BC} \over 2}} \right)}^2}}} + {1 \over {A{H^2}}}\)

\(\Rightarrow {1 \over {B{K^2}}} = {1 \over {B{C^2}}} + {1 \over {4A{H^2}}}\) (đpcm)