Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 4 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) \(\cos (2x + {30^0}) = \dfrac{1}{2}\)

c) \({\cos ^2}x - 3\sin x = 1\)

d) \(\sin 3x + 4\cos 2x - \sin x = 0\)

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(y = 6\sin 2x - 8\cos 2x - 2\)

Lời giải chi tiết

Bài 1:

\(a)\sin \left( {x - {\pi \over 3}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\Leftrightarrow \,\sin \left( {x - {\pi \over 3}}\right) = \sin {\pi \over 3}\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 3} = {\pi \over 3} + k2\pi } \cr
{x - {\pi \over 3} = \pi - {\pi \over 3} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = \pi + k2\pi } \cr} (k \in Z)} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \pi  + k2\pi ,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\(b)\cos \left( {2x + {{30}^0}} \right) = {1 \over 2}\)

\(\Leftrightarrow \,\cos (2x + {30^0}) = \cos {60^0}\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + {{30}^0} = {{60}^0} + k{{360}^0}} \cr {2x + {{30}^0} = - {{60}^0} + k{{360}^0}} \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{15}^0} + k{{180}^0}} \cr {x = - {{45}^0} + k{{180}^0}} \cr} (k} \right. \in Z)\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = {15^0} + k{180^0}\), \(x =  - {45^0} + k{180^0}(k \in \mathbb{Z})\)

\(\begin{array}{l}c)\,{\cos ^2}x - 3\sin x = 1\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - 3\sin x = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 3\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x(\sin x + 3) = 0\\\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0}\\{\sin x =  - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin x = 0\)

(\(\sin x =  - 3\) vô nghiệm vì \( - 1 \le \sin x \le 1\) )

\( \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\(d)\,\,\sin 3x + 4\cos 2x - \sin x = 0\)

\(\Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x + 4(1 - 2{\sin ^2}x) - \sin x = 0\)

\(\Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x - \sin x - 2 = 0\,(1)\)

Đặt \(\sin x = t\,\,(\left| t \right| \le 1)\)

Khi đó phương trình (1) trở thành \(2{t^3} + 4{t^2} - t - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow (t + 2)(2{t^2} - 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 2\,(KTM)}\\{t =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,(TM)}\end{array}} \right.\)

Với \(t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(\Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,(k \in \mathbb{Z})\)

Với \(t =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\(\Leftrightarrow \sin x = \sin ( - \dfrac{\pi }{4})\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,(k \in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \); \(x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \); \(x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Bài 2:

\(\begin{array}{l}y = 6\sin 2x - 8\cos 2x - 2\\\,\,\,\, = 10(\dfrac{3}{5}\sin 2x - \dfrac{4}{5}\cos 2x) - 2\end{array}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \dfrac{3}{5};\,\,\,\,\,\,\sin \alpha  = \dfrac{4}{5}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}y = 10(\cos \alpha \sin 2x - \sin \alpha \cos 2x) - 2\\\,\,\,\, = 10\sin (2x - \alpha ) - 2\end{array}\)

Ta có: \( - 1 \le \sin (2x - \alpha ) \le 1\)

\(\Leftrightarrow  - 10 \le 10\sin (2x - \alpha ) \le 10\)

\(\Leftrightarrow  - 12 \le y \le 8\,(\forall x \in \mathbb{R})\)

Vậy \(\min y =  - 12\) khi \(\sin (2x - \alpha ) =  - 1\)

\(\Leftrightarrow 2x - \alpha  = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + \dfrac{\alpha }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)

\(\max y = 8\,\,\,\) khi \(\,\sin (2x - \alpha ) = 1 \)

\(\Leftrightarrow 2x - \alpha  = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\alpha }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\)