Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 10 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 8\sin x + 6\cos x\) là

A. 8                            B. 6

C. 10                           D. 14

Câu 2: Tập xác định của hàm số \(y\,\, = \,\,\dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}\) là

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\)

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\)

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\},k \in \mathbb{Z}\)

D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi } \right\},k \in \mathbb{Z}\)

Câu 3: Số nghiệm trong khoảng \(\left( { - \pi ;5\pi } \right)\) của phương trình \(\left( {\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\cos x = 0\) là

A. 6                            B. 8

C. 10                           D. 12

Câu 4 : Tập giá trị của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x + 1\) là

A. [-2;6]                      B. [-4;4]

C. [-4;6]                      D. [-1;6]

Câu 5 : Cho \(x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\), biểu thức rút gọn của \(\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} } \) là:

A. \(2\cos \dfrac{x}{4}\)

B. \(2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{4}\)

C. -\(2{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{4}\)

D. \( - 2\cos \dfrac{x}{4}\)

Câu 6: Tập xác định của hàm số \(y\,\, = \,\,\sin \sqrt {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \) là:

A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)           B. \(( - 1;1]\)

C. \({\rm{[}} - 1;1)\)               D. \(( - \infty ; - 1)\)

Câu 7: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm:

A. \(3\sin x + 1 = 0\)

B. \(\cos x = \dfrac{\pi }{3}\)

C. \(2\sin x{\rm{ = }}\dfrac{3}{2}\)

D. \(\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\)

Câu 8: Phương trình \(2{\sin ^2}x + m\sin 2x = 2m\) vô nghiệm khi:

A. \(m \in \left[ {0;\dfrac{4}{3}} \right]\)

B. \(m \le 0;m \ge \dfrac{4}{3}\)

C. \(0 < m < \dfrac{4}{3}\)

D. \(m < 0;m > \dfrac{4}{3}\)

Câu 9: Nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x - \cos x = 0,0 < x < \pi \) là:

A. \(\dfrac{{ - \pi }}{2}\)

B. \(\dfrac{\pi }{4}\)

C. \(\dfrac{\pi }{6}\)

D. \(\dfrac{\pi }{2}\)

Câu 10: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : \(\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x\) là:

A. \(\dfrac{\pi }{6}\)

B. \(\dfrac{\pi }{4}\)

C. \(\dfrac{{2\pi }}{3}\)

D. \(\dfrac{\pi }{3}\)

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Ta có \( - \sqrt {{8^2} + {6^2}}  \le 8\sin x + 6\cos x \le \sqrt {{8^2} + {6^2}} \)

\(\Rightarrow  - 10 \le y \le 10\)

Chọn C.

Câu 2:

ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ne 0}\\{\cos x \ne 0}\end{array}}\right.  \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \)

Chọn C

Câu 3:

\(\begin{array}{l}
\left( {\sin x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\cos x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với \(x = \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \) thì:

\(\begin{array}{l}
- \pi < \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi < 5\pi \\
\Leftrightarrow - 0,4 < k < 2,59\\
\Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}
\end{array}\)

Với \(x = \pi  - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi \) thì:

\(\begin{array}{l}
- \pi < \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + k2\pi < 5\pi \\
\Leftrightarrow - 1,1 < k < 1,9\\
\Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}
\end{array}\)

Với \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) thì:

\(\begin{array}{l}
- \pi < \frac{\pi }{2} + k\pi < 5\pi \\
\Leftrightarrow - \frac{3}{2} < k < \frac{9}{2}\\
\Rightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}
\end{array}\)

Vậy có tất cả 3+3+6=12 nghiệm thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 4:

\( - \sqrt {{3^2} + {4^2}}  \le 3\sin x + 4\cos x \le \sqrt {{3^2} + {4^2}}  \) \(\Rightarrow  - 5 \le 3\sin x + 4\cos x \le 5 \) \(\Leftrightarrow  - 4 \le 3\sin x + 4\cos x + 1 \le 6\)

Chọn C.

Câu 5:

\(\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} }  \)\(= \sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} - 1} \right)} }  \)\(= \sqrt {2 + \sqrt {4{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} }  \)\(= \sqrt {2 + 2\left| {\cos \dfrac{x}{2}} \right|} \)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\dfrac{x}{2} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) \(\Rightarrow \cos \dfrac{x}{2} \ge 0\).

Do đó

\(\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos x} } \)\( = \sqrt {2 + 2\cos \dfrac{x}{2}}\)\(  = \sqrt {2 + 2\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{x}{4} - 1} \right)}  \) \(= \sqrt {4{{\cos }^2}\dfrac{x}{4}}  \) \(= \left| {2\cos \dfrac{x}{4}} \right| = 2\cos \dfrac{x}{4}\)

(vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\dfrac{x}{4} \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \) \(\Rightarrow \cos \dfrac{x}{4} > 0\))

Chọn A

Câu 6:

ĐK: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} \ge 0}\\{1 - x \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow x \in {\rm{[}} - 1;1)} \right.\)

Chọn C.

Câu 7:

Do \(\left| {\dfrac{\pi }{3}} \right| > 1 \Rightarrow \cos x = \dfrac{\pi }{3}\) vô nghiệm.

Chọn B

Câu 8:

\(2{\sin ^2}x + m\sin 2x = 2m \) \(\Leftrightarrow 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + m\sin 2x = 2m\) \( \Leftrightarrow m\sin 2x - \cos 2x = 2m - 1\,\,\,(1)\)

Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow {m^2} + 1 < {\left( {2m - 1} \right)^2} \) \(\Leftrightarrow {m^2} + 1 < 4{m^2} - 4m + 1 \) \(\Leftrightarrow 3{m^3} - 4m > 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{m > \dfrac{4}{3}}\end{array}} \right.\)

Chọn D.

Câu 9:

\({\cos ^2}x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0}\\{\cos x = 1}\end{array}} \right. \)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.\)

Do \(x \in (0;\pi )\) nên \(x = \dfrac{\pi }{2}\)

Chọn D.

Câu 10:

\(\begin{array}{l}
\sin x + \sin 2x = \cos x + 2{\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow \sin x + 2\sin x\cos x = \cos x + 2{\cos ^2}x\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) = \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right)\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {1 + 2\cos x} \right) - \cos x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 + 2\cos x = 0\\
\sin x - \cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - \frac{1}{2}\\
\sin x = \cos x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - \frac{1}{2}\\
\tan x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) là \(x=\frac{{2\pi }}{3} \).

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=-\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) là \(x=\frac{{4\pi }}{3} \).

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm \(x=\frac{{\pi }}{4} + k2\pi \) là \(x=\frac{{\pi }}{4} \).

So sánh ba nghiệm trên ta thấy nghiệm nhỏ nhất là \(x=\frac{{\pi }}{4} \).

Chọn B