Câu 8 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho các hàm số sau :

a. \(y = - {\sin ^2}x\)

b. \(y = 3{\tan ^2}x + 1\)

c. \(y = \sin x\cos x\)

d. \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số \(y = f(x)\) đó đều có tính chất :

\(f(x + kπ) = f(x)\) với \(k \in\mathbb Z\), \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(f\).

LG a

\(y = - {\sin ^2}x\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = - {\sin ^2}x\\
= - \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\
\Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\
= \frac{{\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] - 1}}{2}\\
= \frac{{\cos \left( {2x + k2\pi } \right) - 1}}{2}\\
= \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\
= f\left( x \right)
\end{array}\)

LG b

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr 
& f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 \cr&= 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr} \)

LG c

\(y = \sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(f(x) = \sin x\cos x\)

\(\eqalign{
& f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&= {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr 
& = {\left( { - 1} \right)^{2k}}\sin x\cos x\cr&= \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \sin x\cos x\\
= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\\
\Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin 2x\\=f(x)
\end{array}\)

LG d

\(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có :

\(\eqalign{
& f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr 
& f\left( {x + k\pi } \right) \cr&= \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&+ {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr 
&  = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr&= \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
= \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
\Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right)\\
= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\
= f\left( x \right)
\end{array}\)