Câu 2 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau:

a. \(y = -2\sin x\)

b. \(y = 3\sin x – 2\)

c. \(y=\sin x – \cos x\)

d. \(y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\)

LG a

\(y = -2\sin x\)

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\).

+) Nếu \(x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\) thì hàm số là hàm số lẻ.

+) Nếu \(x \in D \Rightarrow  - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì hàm số là hàm số chẵn.

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = -2\sin x\)

Tập xác định \(D =\mathbb R\), ta có:

\(f(-x) = -2\sin (-x)\)\( =  - 2\left( { - \sin x} \right) = 2\sin x\)\( = -f(x), ∀x \in\mathbb R\)

Vậy \(y = -2\sin x\) là hàm số lẻ.

LG b

\(y = 3\sin x – 2\)

Phương pháp giải:

Lấy ví dụ kiểm tra, thay \(x = \frac{\pi }{2}, - x =  - \frac{\pi }{2}\) kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này và so sánh.

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = 3\sin x – 2\)

Ta có: \(f\left( {{\pi \over 2}} \right)  = 3\sin \frac{\pi }{2} - 2= 1;\)

\(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) = 3\sin (-\frac{\pi }{2}) - 2= - 5\)

\(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \ne - f\left( { - {\pi \over 2}} \right)\) và \(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 2}} \right)\) nên hàm số \(y = 3\sin x – 2\) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

LG c

\(y=\sin x – \cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(f(x) = \sin x – \cos x\)

Ta có:  \(f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 0;f\left( { - {\pi \over 4}} \right) = - \sqrt 2 \)

\(f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne - f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) và \(f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) nên \(y = \sin x – \cos x\) không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.

LG d

\(y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \sin x{\cos ^2}x + \tan x\)

Tập xác định \(D = \mathbb R \backslash  \left\{{\pi \over 2} + k\pi ,k \in \mathbb Z \right\}\)

\(∀x \in D\) ta có \(– x \in D\) và  

\(\eqalign{
& f\left( { - x} \right) \cr&= \sin \left( { - x} \right){\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right) \cr 
& = - \sin x{\cos ^2}x - \tan x\cr& =  - \left( {\sin x{{\cos }^2}x + \tan x} \right) = - f\left( x \right) \cr} \)

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.