Câu 3 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :

a.  \(y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)

b.  \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)

c.  \(y = 4\sin \sqrt x \)

LG a

\(y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết \( - 1 \le \cos u \le 1\) với u là biểu thức của x.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(-1 ≤ \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) ≤ 1\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3 \le 5\cr& \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr 
&\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\text{ hay} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr 
&\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \cr&\text{ hay} \,x = - {\pi \over 3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

LG b

\(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(1 - \sin \left( {{x^2}} \right) \ge 0\)

Ta có:

\( - 1 \le \sin {x^2} \le 1 \) \(\Rightarrow 1 - \left( { - 1} \right) \ge 1 - \sin {x^2} \ge 1 - 1\)

\(\Leftrightarrow 2 \ge 1 - \sin {x^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow 0 \le 1 - \sin {x^2} \le 2\)

\( \Rightarrow 0 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}}  \le \sqrt 2 \)

\(\Rightarrow 0- 1 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} - 1 \le \sqrt 2 - 1 \)

\(\Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1\)

Vậy \(\min y =  - 1\) khi \(\sin {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\)\(\left( {k \ge 0,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\max y = \sqrt 2  - 1\) khi \(\sin {x^2} =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\)\(\left( {k > 0,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

LG c

\(y = 4\sin \sqrt x \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \( - 1 \le \sin \sqrt x \le 1 \)

\(\Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4\)

\(⇒ -4 ≤ y ≤ 4\)

Vậy \(\min y =  - 4\) khi \(\sin \sqrt x  =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\) \(\left( {k \in \mathbb{Z},k > 0} \right)\)

\(\max y = 4\) khi \(\sin \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\) \(\left( {k \in \mathbb{Z},k \ge 0} \right)\)