Câu 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét hàm số  \(y = f\left( x \right) = \cos {x \over 2}\)

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\), \(f(x + k4π) = f(x)\) với mọi \(x\).

b. Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn \([-2π ; 2π]\).

c. Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\). 

d. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phép biến hình \(F\) biến mỗi điểm \((x ; y)\) thành điểm \((x'; y')\) sao cho \(x'= 2x\) và \(y'= y\). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị của hàm số  \(y = \cos {x \over 2}.\)

LG a

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên \(k\), \(f(x + k4π) = f(x)\) với mọi \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(f\left( {x + k4\pi } \right) = \cos \frac{{x + k4\pi }}{2}\)

\(= \cos \left( {{x \over 2} + k2\pi } \right) \) \(= \cos {x \over 2} = f\left( x \right)\)

LG b

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn \([-2π ; 2π]\).

Lời giải chi tiết:

Bảng biến thiên :

LG c

Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = \cos x\) và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxy\).

Lời giải chi tiết:

LG d

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét phép biến hình \(F\) biến mỗi điểm \((x ; y)\) thành điểm \((x'; y')\) sao cho \(x'= 2x\) và \(y'= y\). Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị của hàm số  \(y = \cos {x \over 2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = 2x\\
y' = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{x'}}{2}\\
y =y'
\end{array} \right.\)

Do đó \(y = \cos x\) \( \Leftrightarrow \) \(y' = \cos {{x'} \over 2}\).

Do đó phép biến đổi xác định bởi \((x ; y) ↦ (x' ; y')\) sao cho \(x' = 2x, y'= y\) biến đồ thị hàm số \(y = \cos x\) thành đồ thị hàm số  \(y = \cos {x \over 2}.\)