Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A₁B₁C₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A₂B₂C₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A₁B₁C₁,…, tam giác A_n+1B_n+1C_n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A_nB_nC_n, … . Gọi p₁, p₂, ..., p_n, … và S₁, S₂, …, S_n, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

LG a

Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};\)

\({p_2}  = \frac{a}{4} + \frac{a}{4} + \frac{a}{4}= {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}}\)

...

\({p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}\) (1)

Chứng minh bằng qui nạp:

+) Với n=1 thì \({p_1} = \frac{{3a}}{2}\) (đúng).

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là \({p_k} = {{3a} \over {{2^k}}}\). Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1.

Tam giác \({A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}\) đồng dạng tam giác \(A_kB_kC_k\) theo tỉ số \(\frac{1}{2}\) nên có chu vi \({p_{k + 1}} = \frac{1}{2}{p_k} = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{{{2^k}}} = \frac{{3a}}{{{2^{k + 1}}}}\)

Do đó ta có \({p_n} = \frac{{3a}}{{{2^n}}}\).

Vì \(\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\text { nên }\lim {p_n} = 0\)

Diện tích tam giác ABC là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Diện tích tam giác A₁B₁C₁là  \({S_1} = {S \over 4}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) là \({S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.{\left( {{1 \over 4}} \right)^n}\)

Vì  \(\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {S_n} = 0\).

LG b

Tìm các tổng

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...\) và \({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có (p_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = {1 \over 2},\) do đó :

\({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}}\) \( = 2{p_1}= 2.\frac{{3a}}{2} = 3a\)

(S_n) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = {1 \over 4}\) do đó :

\({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}} \) \(= {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)