Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\)

LG a

Chứng minh rằng dãy số (v_n) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Dãy số \((v_n)\) là cấp số nhân nếu \(v_{n+1}=q.v_n\) với q là số thực không đổi (công bội).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\displaystyle {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4}\) \(\displaystyle = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}\)

Thay \(\displaystyle {u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\) vào ta được:

\(\displaystyle {v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) - {3 \over 4}  \) \(\displaystyle = \frac{1}{5}{v_n} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}= {1 \over 5}{v_n},\forall n\)

Vậy (v_n) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  \(\displaystyle q = {1 \over 5}\)

LG b

 Tìm \(\lim u_n\).

Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát \({v_n} = {v_1}{q^{n - 1}}\) suy ra giới hạn \(\lim v_n\).

Từ đó suy ra \(\lim u_n\).

Lời giải chi tiết:

 Ta có:

\(\eqalign{
& {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr 
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}} \cr 
& \lim {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{n - 1}} = 0\Rightarrow \lim {v_n} = 0\cr &  \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - \frac{{15}}{4}} \right) = 0\cr &\Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \)