Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

LG a

\(\displaystyle \lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n\) mà \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Và định nghĩa \(\lim \left( {{u_n} - L} \right) = 0\) thì \(\lim u_n=L\).

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(\displaystyle {u_n} = 2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}\) \(\Rightarrow {u_n} - 2 = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}\)

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& \left| {{u_n} - 2} \right|  = \left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right|= {1 \over {n + 2}} < {1 \over n}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \cr 
& \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2 \cr} \)

LG b

 \(\displaystyle \lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đánh giá và giới hạn kẹp:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\). Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}, \forall n\) mà \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(\displaystyle {u_n} = {{\sin 3n} \over {4n}} - 1\) \( \Rightarrow {u_n} + 1 = \dfrac{{\sin 3n}}{{4n}}\)

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& \left| {{u_n} + 1} \right| = \left| {{{\sin 3n} \over {4n}}} \right| \le {1 \over {4n}}\cr &\text{ và }\,\lim {1 \over {4n}} = 0 \cr 
& \Rightarrow \lim \left( {{u_n} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1 \cr} \)

LG c

\(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \lim {{n - 1} \over n} = \lim \left( {1 - {1 \over n}} \right) \) \(\displaystyle = \lim 1 - \lim {1 \over n} = 1\)

LG d

\(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}}\)

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \(n\) và sử dụng giới hạn \(\lim \dfrac{1}{n} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle \lim {{n + 2} \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {1 + {2 \over n}} \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} \) \(\displaystyle = \lim {{1 + {2 \over n}} \over {1 + {1 \over n}}} = {{\lim 1 + \lim {2 \over n}} \over {\lim 1 + \lim {1 \over n}}} \) \(\displaystyle = {{1 + 0} \over {1 + 0}} = 1\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}} = \lim \left( {\frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}}} \right)\\
= \lim \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)\\
= \lim 1 + \lim \frac{1}{{n + 1}}\\
= 1 + 0 = 1
\end{array}\)