Câu 6 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho ba điểm A, B, C. Gọi Đ_A, Đ_B, Đ_C là các phép đối xứng tâm có tâm lần lượt là A, B và C. Chứng minh rằng hợp thành của ba phép đối xứng tâm nói trên là một phép đối xứng tâm.

Lời giải chi tiết

Gọi F là phép hợp thành của ba phép đối xứng Đ_A, Đ_B và Đ_C. Gọi M là điểm bất kì sao cho M₁ = Đ_A(M), M₂ = Đ_B(M₁), M’ = Đ_C(M₂), có nghĩa là các điểm A, B, C lần lượt là trung điểm các đoạn \(M{M_1},{M_1}{M_2},{M_2}M'\)

Từ đó nếu ta gọi D là trung điểm của đoạn thẳng MM’ thì \(\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = \overrightarrow {BA} \), tức D là điểm xác định không phụ thuộc vào M. Theo định nghĩa của phép hợp thành F thì F biến điểm M thành điểm M’. Vì D là trung điểm của MM’ nên F là phép đối xứng tâm với tâm là D.