Câu 1 trang 221 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho đường thẳng a và vectơ \(\overrightarrow u \) có giá vuông góc với a. Gọi F là phép hợp thành của đối xứng trục Đ­_a. Gọi F là phép hợp thành của đối xứng trục Đ­_a và tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\). Với điểm M bất kì, gọi M’ = F(M) và I là trung điểm của MM’.

a) Tìm quỹ tích của I khi M thay đổi.

b) Chứng minh rằng F là phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết

a) Nếu Đ_a biến điểm M thành N thì \({T_{\overrightarrow u }}\) biến điểm N thành điểm M’ tức là \(\overrightarrow {NM'}  = \overrightarrow u \). Vì vectơ \(\overrightarrow u \) có giá vuông góc với a nên ba điểm M, N và M’ cùng nằm trên đường thẳng m vuông góc với a. Gọi J là trung điểm của MN thì J nằm trên a và ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {JI}  = \overrightarrow {MI}  - \overrightarrow {MJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {MM'}  - \overrightarrow {MN} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\overrightarrow {NM'}  = {{\overrightarrow u } \over 2}. \cr} \)

Như vậy I là ảnh của J qua phép tịnh tiến theo vectơ \({{\overrightarrow u } \over 2}\), suy ra quỹ tích I là đường thẳng a’ ảnh của a qua phép tịnh tiến đó.

b) Từ câu a), ta suy ra a’ là trung trực của đoạn thẳng MM’. Suy ra F là phép đối xứng trục với trục là đường thẳng a’.