Câu 11 trang 222 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm K, N lần lượt là trung điểm của SA và CB. Điểm M thuộc cạnh SC sao cho \({{SM} \over {MC}} = {2 \over 3}\).

a) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ASC và AKM.

b) Mặt phẳng qua K và song song với hai đường thẳng AB và SC có qua điểm N hay không?

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(KMN).

d) Chứng minh rằng đường thẳng KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Từ C và M ta lần lượt kẻ các đường CH, MH’ cùng vuông góc với SA (H, H’ cùng thuộc SA).

Ta có

\(\eqalign{  & {{{S_{ASC}}} \over {{S_{AKM}}}} = {{{1 \over 2}SA.CH} \over {{1 \over 2}AK.MH'}}  \cr  &  = 2.{{CH} \over {MH'}} = 2.{{SC} \over {SM}} = 2.{5 \over 2} = 5 \cr} \)

b) Gọi:

(P) là mặt phẳng qua K, song song với AB và SC;

(Q) là mặt phẳng qua AB và song song với SC;

(R) là mặt phẳng qua SC và song song với AB.

Khi đó ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song.

Gọi \(N' = BC \cap \left( P \right)\). Theo định lí Ta-lét, ta có:

\({{CN'} \over {N'B}} = {{SK} \over {K{\rm{A}}}} = 1 \Rightarrow CN' = N'B\)

do đó N’ là trung điểm của BC, tức N’ ≡ N

Vậy mp(P) qua điểm N.

c) Kéo dài MK cắt AC tại I; nối IN cắt BA tại J. Vậy tứ giác MNJK là thiết diện cần tìm.

d) Gọi O là giao điểm của KN và MJ thì O là giao điểm của mp(P) với JM. Ba mặt phẳng song song (R), (P), (Q) lần lượt cắt SA và MJ tại các điểm S, K, A và M, O, J. Theo định lí Ta-lét, ta có O là trung điểm của MJ (do K là trung điểm của SA). Từ đó, dễ thấy

\({S_{K{\rm{O}}M}} = {S_{K{\rm{O}}J}};{S_{NMO}} = {S_{NOJ}}\).

Vậy \({S_{MKN}} = {S_{JKN}}\) tức là đường thẳng KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau.