Câu 5.5 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số

                                    \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\left| x \right|}^3}} \)

Tính f' (0)  nếu có

Lời giải chi tiết

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0

                        \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}}\)

Ta được \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}}  - 0} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x}\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x\sqrt x } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x  = 0\)

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{ - x\sqrt { - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - \sqrt { - x} } \right) = 0\)

Nên \(f'\left( 0 \right) = 0\)