Câu 5.4 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho parabol (P) có phương trình

                    y = f (x) = kx²  (k là hằng số khác 0)

Và A là một điểm thuộc (P) có hoành độ là \(a\ne 0\) .

Hãy xác định các tọa độ giao điểm của trục Ox với tiếp tuyến tại A của (P). Từ đó hãy suy ra một cách đơn giản để vẽ tiếp tuyến này.

Lời giải chi tiết

Ta có

                        \(y' = 2kx\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {a;k{a^2}} \right)\) của parabol (P) là

                        \(y = 2ka\left( {x - a} \right) + k{a^2} = 2kax - k{a^2}\,\)

Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến này với trục Ox. Hoành độ điểm I là nghiệm của phương trình

                        \(2kax - k{a^2}=0 \Leftrightarrow x = {a \over 2}\)(vì \(ak \ne 0\))

Suy ra \(I\left( {{a \over 2};0} \right)\)

Từ đó để vẽ tiếp tuyến tại điểm  \(A\left( {a;k{a^2}} \right)\) của parabol (P), ta nối điểm A với điểm \(I\left( {{a \over 2};0} \right)\); đường thẳng AI là tiếp tuyến cần phải tìm.