Câu 5.1 trang 178 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hàm số

\(y = \root 3 \of x \)

Chứng minh rằng: \(y'\left( x \right) = {1 \over {3\root 3 \of {{x^2}} }}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\)

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(a \ne 0,\) ta tính đạo hàm của hàm số \(y = \root 3 \of x \) tại điểm theo định nghĩa

- Tính \(\Delta y\)

\(\Delta y = \root 3 \of {x + \Delta x} - \root 3 \of x \)
\( = {{\left( {\root 3 \of {x + \Delta x}  - \root 3 \of x } \right)\left( {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}}  + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)}  + \root 3 \of {{x^2}} } \right)} \over {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}}  + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)}  + \root 3 \of {{x^2}} }}\)

\(= {{\Delta x} \over {\root 3 \of {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right)} + \root 3 \of {{x^2}} }}  \)

- Tìm giới hạn

 \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {1 \over {\root 3 \of {\left( {x + \Delta x} \right)^2}  + \root 3 \of {x\left( {x + \Delta x} \right) + \root 3 \of {{x^2}} } }} = {1 \over {3\root 3 \of {{x^2}} }} \)

\(= y'\left( x \right)\)