Câu 5.27 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Giải và biện luận phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) biết rằng

             \(f\left( x \right) = 2\sin x + 2\left( {1 - 2m} \right)\cos x - 2mx\)

Lời giải chi tiết

Với mọi \(x \in R\), ta có

\(\eqalign{& f'\left( x \right) = 2\cos 2x - 2\left( {1 - 2m} \right)\sin x - 2m  \cr& f'\left( x \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 - 2m} \right)\sin x - m = 0  \cr& \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \left( {1 - 2m} \right)\sin x + m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Ta có \(\Delta  = {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 8m + 8 \)

\(= 4{m^2} - 12m + 9 = {\left( {2m - 3} \right)^2}\)

Vậy

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) - \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr\sin x = {{\left( {2m - 1} \right) + \left( {2m - 3} \right)} \over 4} = m - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Giải (2), ta được

\(\sin x = {1 \over 2} = \sin {\pi  \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {\pi  \over 6} + k2\pi  \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi . \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

\( \bullet \) Giải (3), với điều kiện \( - 1 \le m - 1 \le 1\,\,\,hay\,\,0 \le m \le 2,\) ta được

\(\sin x = m - 1 = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \alpha  + k2\pi  \hfill \cr x = \pi  - \alpha  + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\,\,\,\,\,(5)\)

Kết luận

a) Nếu \(m < 0\) hoặc \(m > 2\) thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4)

b) Nếu \(0 \le m \le 2\) thì phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có các nghiệm là (4) và (5).