Câu 5.26 trang 183 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm a để phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm, biết rằng

                        \(f\left( x \right) = a\cos x + 2\sin x - 3x + 1\)

Lời giải chi tiết

Với mọi \(x \in R\) ta có

                \(f'\left( x \right) = a\sin x + 2\cos x - 3.\)

Để \(f'\left( x \right) = 0\) có nghiệm thì ta phải tìm a sao cho phương trình \(2\cos x - a\sin x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)   có nghiệm. Ta có

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\cos x - {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\sin x = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Vì \({\left( {{2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} + {\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}} \right)^2} = 1\) nên có số \(\alpha \) sao cho\(\left\{ \matrix{\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr\sin \alpha  = {a \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \hfill \cr}  \right.\)

Thế vào (2), ta được : \(\cos x\cos \alpha  - \sin x\sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

                                    \( \Leftrightarrow \cos \left( {x + \alpha } \right) = {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} \,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi

\( - 1 \le {3 \over {\sqrt {{a^2} + 4} }} \le 1 \Leftrightarrow 3 \le \sqrt {{a^2} + 4}  \Leftrightarrow {a^2} + 4 \ge 9 \)

\(\Leftrightarrow {a^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left| a \right| \ge \sqrt {5} \)