Câu 5.21 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tính \(f'\left( {{\pi  \over 6}} \right)\) và \(f'\left( {{\pi  \over 3}} \right)\)  ( nếu có) biết

                             \(f\left( x \right) = {{\cos x} \over {\sqrt {\cos 2x} }}\)

Lời giải chi tiết

Để hàm số có đạo hàm thì ta phải có \(\cos 2x > 0.\) Với điều kiện đó thì

\( f'\left( x \right) = {{ - \sin x\sqrt {\cos 2x}  - \cos x.{1 \over {2\sqrt {\cos 2x} }}\left( { - 2\sin 2x} \right)} \over {\cos 2x}}  \)

            \(= {{ - \sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x} \over {\cos 2x\sqrt {\cos 2x} }} = {{\sin x} \over {\sqrt {{{\cos }^3}2x} }} \)

\( \bullet \) Khi \(x = {\pi  \over 3}\)  thì \(\cos 2x = \cos {{2\pi } \over 3} < 0\) , nên không tồn tại \(f'\left( {{\pi  \over 3}} \right)\)

\( \bullet \) Khi \(x = {\pi  \over 6}\)  thì \(\cos 2x = \cos {\pi  \over 3} > 0\) , nên không tồn tại \(f'\left( {{\pi  \over 6}} \right)\)  và

                        \(f'\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {{\sin {\pi  \over 6}} \over {\sqrt {{{\cos }^3}{\pi  \over 3}} }} = {{{1 \over 2}} \over {\sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^3}} }} = \sqrt 2 .\)