Câu 5.22 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai hàm số

                        \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)  và \(g\left( x \right) = {1 \over 4}\cos 4x\)

Chứng minh rằng

                        \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right)\)

Lời giải chi tiết

Cách 1. Với mọi \(x \in R\), ta có

\(\eqalign{ f'\left( x \right)& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left( { - \sin x} \right) \cr&= 4\sin x\cos x({\sin ^2}x - {\cos ^2}x)  \cr& = 2\sin 2x\left( { - \cos 2x} \right) =  - \sin 4x. \cr} \)

Mặt khác ta có

    \(g'\left( x \right) = {1 \over 4}\left( { - 4\sin 4x} \right) =  - \sin 4x.\)

Vậy với mọi \(x \in R\), ta có

                        \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).\)

Cách 2. Ta chứng minh rằng \(f\left( x \right)\)  và \(g\left( x \right)\) khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau (nếu chúng có đạo hàm) . Thật vậy, ta có

\(\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x  \cr& = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \)

Tức là  \(f\left( x \right) = {3 \over 4} = g\left( x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall x \in R} \right).\)

Vậy                             \(f'\left( x \right) = g'\left( x \right).\)