Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(A = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} \)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(1 ≤ x ≤ 4\)

Với \(1 ≤ x ≤ 4\), ta có:

 \({A^2} = {(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} )^2} \)

   \( = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)}  \le 3 + x - 1 + 4 - x = 6\)

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Suy ra: \(A \le \sqrt 6 \)

Dấu “=” xảuy ra khi \(x – 1= 4 – x  \Rightarrow x = {5 \over 2}\)  (thỏa mãn điều kiện : \(1 ≤ x ≤ 4\))

Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\sqrt 6 \)

 \({A^2} = 3 + 2\sqrt {(x - 1)(4 - x)}  \ge 3\)

vì \(\sqrt {(x - 1)(4 - x)}  \ge 0\)

Vậy \(A \ge \sqrt 3 \)