Bài tập 7 trang 156 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), phân giác của góc A cắt BC tại D. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.

a) Chứng minh rằng \(\Delta ADB = \Delta ADE\)

b) Đường thẳng ED cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng AF = AC.

c) Chứng minh rằng \(\Delta DBF = \Delta DEC\)

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác ADB và ADE có:

AB = AE (gt)

\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\)   (AD là tia phân giác của góc BAC)

AD là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta ADB = \Delta ADE(c.g.c)\)

b) Ta có:  \(\Delta ADB = \Delta ADE\)  (chứng minh câu a)

Suy ra: \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)  và BD = ED

Xét tam giác AEF và ABC có:

\(\widehat {EAF} = \widehat {BAC}\)  (góc chung)

AE = AB (gt)

\(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}(\widehat {ABD} = \widehat {AED})\)

Do đó: \(\Delta AEF = \Delta ABC(g.c.g) \Rightarrow AF = AC\)

c) Ta có: \(\eqalign{  & \widehat {ABD} + \widehat {DBF} = {180^0}  \cr  & \widehat {AED} + \widehat {DEC} = {180^0} \cr} \)    (hai góc kề bù)

Mà  \(\widehat {ABD} = \widehat {AED}\)  (chứng minh câu b) nên  \(\widehat {DBF} = \widehat {DEC}\)

Xét tam giác BFD và ECD có:

\(\widehat {FBD} = \widehat {CED}(cmt)\)

BD = ED (chứng minh câu b)

\(\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\)  (hai góc đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta BFD = \Delta ECD(g.c.g)\)