Bài 9 trang 87 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB, gọi M là một điểm nằm trên OC sao cho \(\tan \widehat {OAM} = \dfrac{3}{4}\), AM cắt nửa đường tròn tại D. Tính các đoạn AM, AD, BD theo R.

Lời giải chi tiết

Xét tam gác OAM vuông tại O có:

\(\tan \widehat {OAM} = \dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{3}{4} \)

\(\Rightarrow OM = \dfrac{3}{4}OA = \dfrac{3}{4}R\)

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OAM vuông tại O:

\(A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}\)

\(\Rightarrow AM = \sqrt {O{A^2} + O{M^2}} \)\(\, = \sqrt {{R^2} + \dfrac{9}{{16}}{R^2}}  = \dfrac{5}{4}R\)

D là một điểm trên nửa đường tròn (O) \( \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét hai tam giác OAM và DAB có:

+) \(\widehat A\) chung;

+) \(\widehat {AOM} = \widehat {ADB} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)Hai tam giác OAM và DAB đồng dạng

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{OA}}{{AD}} = \dfrac{{OM}}{{BD}}\\ \Rightarrow AD = \dfrac{{OA.AB}}{{AM}} = \dfrac{{R.2R}}{{\dfrac{5}{4}R}} = \dfrac{8}{5}R\\ BD = \dfrac{{OM.AB}}{{AM}} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}R.2R}}{{\dfrac{5}{4}R}} = \dfrac{6}{5}R\end{array}\)