Bài 8 trang 87 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 10 cm, AC = 15 cm.

a) Tính góc B.

b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI.

c) Vẽ AH vuông góc với BI tại H. Tính AH.

Lời giải chi tiết

a) Tính góc B.

\(\tan {\widehat B} = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{15}}{{10}} = \dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow {\widehat B} \approx {56^0}19'\)

b) Phân giác trong góc B cắt AC tại I. Tính AI.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \)

\(\Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  \)\(\,= \sqrt {{{10}^2} + {{15}^2}}  = 5\sqrt {13} \)

AI là phân giác trong góc I nên ta có:

\(\dfrac{{IA}}{{IC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{10}}{{5\sqrt {13} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {13} }} \)

\(\Rightarrow IC = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}IA\)

Mặt khác: \(IA + IC = AC = 15 \)

\(\Rightarrow IA + \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}IA = 15 \)

\(\Rightarrow IA = \dfrac{{ - 20 + 10\sqrt {13} }}{3}\) cm

c) Vẽ AH vuông góc với BI tại H. Tính AH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABI vuông tại A, đường cao AH có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{I^2}}} \)\(\,= \dfrac{1}{{100}} + \dfrac{9}{{{{\left( { - 20 + 10\sqrt {13} } \right)}^2}}} \)

\(\Rightarrow A{H^2} \approx 22,26 \Rightarrow AH \approx 4,72\)cm