Bài 9 trang 6 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.

Lời giải chi tiết

Giả sử phép dời hình f biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó, tức là \(f\left( A \right) = A\),\(f\left( B \right) = B,f\left( C \right) = C,f\left( D \right) = D.\)

Ta chứng minh rằng f biến điểm M bất kì thành M.

Thật vậy giả sử \({M'} = f\left( M \right)\) và M^’ khác M.

Khi đó, vì phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm nên \(AM = A{M'}\),\(BM = B{M'}\),\(CM = C{M'},DM = D{M'}\)

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM^’, điều đó trái với giả thiết ABCD là hình tứ diện.

Vậy M^’ trùng với M và do đó, f là phép đồng nhất.