Bài 10 trang 7 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho hai tứ diện \(ABCD\) và \({A'}{B'}{C'}{D'}\) có các cạnh tương ứng bằng nhau : \(AB = {A'}{B'},BC = {B'}{C'},CD = {C'}{D'},\)

\(DA = {D'}{A'},DB = {D'}{B'},AC = {A'}{C'}.\) Chứng minh rằng có không quá một phép dời hình biến các điểm \(A,B,C,D\) lần lượt thành các điểm \({A'},{B'},{C'},{D'}\).

Lời giải chi tiết

Giả sử có hai phép dời hình \({f_1}\) và \({f_2}\) đều biến các điểm \(A,B,C,D\) lần lượt thành các điểm \({A'},{B'},{C'},{D'}\). Nếu \({f_1}\) và \({f_2}\) khác nhau thì có ít nhất một điểm M sao cho nếu \({M_1} = f\left( M \right),{M_2} = f\left( M \right)\) thì \({M_1}\)và \({M_2}\) là hai điểm phân biệt.

Khi đó, vì \({f_1}\) và \({f_2}\) đều là phép dời hình nên \({A'}{M_1} = AM,{A'}{M_2} = AM,\) vậy \({A'}{M_1} = {A'}{M_2}\) tương tự \({B'}{M_1} = {B'}{M_2},{C'}{M_1} = {C'}{M_2},{D'}{M_1} = {D'}{M_2},\) do đó bốn điểm \({A'};{B'};{C'};{D'}\) cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\), trái với giả thiết \({A'}{B'}{C'}{D'}\) là hình tứ diện.

Vậy với mọi điểm M, ta đều có \({f_1}\left( M \right) = {f_2}\left( M \right)\), tức là hai phép dời hình \({f_1}\) và \({f_2}\) trùng nhau.