Bài 85 trang 109 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2AD\).  Gọi \(E, F\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, CD\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE\), \(N\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE\).

a) Tứ giác \(ADFE\) là hình gì? Vì sao?

b) Tứ giác \(EMFN\) là hình gì? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(ADFE\) có:

\(AE // DF\), \(AE = DF\) \(\left( { = \dfrac{{AB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ADFE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành \(ADFE\) có \(\widehat{A} = 90^0\) nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )

Theo giả thiết \(AB=2AD\) mà \(AE = \dfrac{{AB}}{2}\) nên \(AE=AD=\dfrac{{AB}}{2}\)

Hình chữ nhật \(ADFE\) có \(AE = AD\) nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)

b) Xét tứ giác \(DEBF\) có:

\(EB // DF, EB = DF\) \(\left( { = \dfrac{{AB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

\( \Rightarrow \) \(DE // BF\) (tính chất hình bình hành)

Xét tứ giác \(AECF\) có:

\(EA // CF, EA = CF\) \(\left( { = \dfrac{{AB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

\( \Rightarrow \) \(AF // EC\) (tính chất hình bình hành)

Xét tứ giác \(EMFN\) có:

\(DE // BF, AF = EC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(EMFN\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Theo câu a, \(ADFE\) là hình vuông nên \(ME = MF, ME  ⊥ MF\) (tính chất hình vuông)

Hình bình hành \(EMFN\) có \(\widehat{M} = 90^0\) nên là hình chữ nhật, lại có \(ME = MF\) nên là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)