Bài 79 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải hệ phương trình :

LG a

\(\left\{ \matrix{
{3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 \hfill \cr 
{2^x} - {3^y} = - 0,75\,; \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = {2^x},\,v = {3^y}\,\left( {u > 0,\,v > 0} \right)\)

Ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
3u + 2v = 2,75 \hfill \cr 
u - v = - 0,75 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = {1 \over 4} \hfill \cr 
v = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{2^x} = {1 \over 4} \hfill \cr 
{3^y} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr} \right.\)                               

Vậy \(S = \left\{ {\left( { - 2;0} \right)} \right\}\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr 
3 + {\log _2}y = {\log _2}5  \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr 
3 + {\log _2}y = {\log _2}5  \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2\\
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}5.{\log _5}x
\end{array} \right.\)

Điều kiện: \(x > 0\) và \(y > 0\).

Khi đó \({\log _5}7.{\log _7}y={\log _5}y  \) và \({\log _2}5.{\log _5}x = {\log _2}x\) nên hệ tương đương:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{\log _5}x + {\log _5}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr 
3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}x \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}x + {\log _5}y = {\log _5}5 + {\log _5}2\\{\log _2}{2^3} + {\log _2}y = {\log _2}5 + {\log _2}{x^3}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _5}xy = {\log _5}10 \hfill \cr {\log _2}8y = {\log _2}5{x^3} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{xy = 10\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 8y = 5{x^3}\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)                   

\(\left( 2 \right) \Rightarrow y = {{5{x^3}} \over 8}\) thay vào (1) ta được:

\({{5{x^4}} \over 8} = 10 \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2\) (vì \(x > 0\))

Với \(x = 2\) ta có \(y = {{10} \over x} = 5\).

Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;5} \right)} \right\}\)