Bài 78 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải phương trình

LG a

\(\left( {{1 \over 3}} \right) ^x= x + 4\,;\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x < -1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 1}} = 3\\
VP = x + 4 < - 1 + 4 = 3
\end{array}\)

Do đó \({\left( {{1 \over 3}} \right)^{  x}} > 3 > x + 4\) nên phương trình không có nghiệm \(x < -1\)

Với \(x > -1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
VT = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 1}} = 3\\
VP = x + 4 > - 1 + 4 = 3
\end{array}\)

Do đó \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} < {\left( {{1 \over 3}} \right)^{ - 1}} = 3 < x + 4\) nên phương trình không có nghiệm \(x > -1\)

Dễ thấy với x=-1 thì \(VT=3=VP\).

Vậy \(S = \left\{ { - 1} \right\}\)

LG b

\({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} = 1.\)

Lời giải chi tiết:

Do \( 0 < \sin {\pi  \over 5} < 1\) và \(0 < \cos {\pi  \over 5} < 1\) nên:

Nếu \(x > 2\) thì:

\({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} < {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

\({\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} < {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x}\)

\(<{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2}= 1\)

Do đó VT < VP nên phương trình không có nghiệm khi \(x > 2\)

Nếu \(x < 2\) thì:

\({\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} > {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

\({\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x} > {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {\sin {\pi  \over 5}} \right)^x} + {\left( {\cos {\pi  \over 5}} \right)^x}\)

\(>{\left( {\sin \frac{\pi }{5}} \right)^2} + {\left( {\cos \frac{\pi }{5}} \right)^2}= 1\)

Do đó VT > VP nên phương trình không có nghiệm khi \(x < 2\)

Dễ thấy với x=2 thì VT=VP=1 nên x=2 là nghiệm của phương trình.

Vậy \(S = \left\{ 2 \right\}\)