Bài 72 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
x + y = 20 \hfill \cr 
{\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9; \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0; y > 0\).

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
{\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
{\log _4}x + {\log _4}y = {\log _4}4 + {\log _4}9
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
{\log _4}\left( {xy} \right) = {\log _4}36
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
xy = 36
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 20 - x\\
x\left( {20 - x} \right) = 36
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 20 - x\\
- {x^2} + 20x - 36 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 20 - x\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 18
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2,y = 18\\
x = 18,y = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\left( {2;18} \right);\,\left( {18;2} \right)} \right\}\)

Chú ý:

Ở bước giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 20\\
xy = 36
\end{array} \right.\) cùng có thể giải nhanh như sau:

x,y chính là nghiệm của phương trình 

\({X^2} - 20X + 36 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
X = 2\\
X = 18
\end{array} \right.\)

Vậy (x;y)\(\in\){(2;18),(18;2)}

LG b

\(\left\{ \matrix{
x + y = 1 \hfill \cr 
{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2y}} = 0,5 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình thứ nhất suy ra \(y = 1 – x\), thay vào phương trình thứ hai ta được: 
\({4^{ - 2x}} + {4^{ - 2\left( {1 - x} \right)}} = 0,5 \)

\(\Leftrightarrow \,\,{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2 + 2x}} = {1 \over 2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{4^{2x}}}} + \frac{{{4^{2x}}}}{{16}} = \frac{1}{2}\)

Đặt \(t = {4^{2x\,}}\,\left( {t > 0} \right)\) ta được:

\(\eqalign{
& {1 \over t} + {t \over {16}} = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow 16 + {t^2} = 8t \cr&\Leftrightarrow {\left( {t - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 4 \cr 
& \Rightarrow {4^{2x}} = 4 \cr&\Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr} \)

Với \(x = {1 \over 2}\) ta có \(y = 1 - x = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}\)
Vậy \(S = \left\{ {\left( {{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}\)

Cách 2.

x+y=1\(\Leftrightarrow \) 4^x+y=4 <=> 4^x.4^y=4

Đặt u=4^x,v=4^y ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}uv = 4\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{v^2}}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{4}{u}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{{{u^2}}}{{16}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{{16 + {u^4}}}{{16{u^2}}} = \frac{{8{u^2}}}{{16{u^2}}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\{u^4} - 8{u^2} + 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\{u^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\left[ \begin{array}{l}u = 2\left( {TM} \right)\\u =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{4^x} = 2\\{4^y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{2x}} = 2\\{2^{2y}} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Tập nghiệm của hệ phương trình là \(S = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}\).