Bài 73 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải hệ phương trình:

LG a

\(\left\{ \matrix{
{3^{ - x}}{.2^y} = 1152 \hfill \cr 
{\log _{\sqrt 5 }}\left( {x + y} \right) = 2; \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x + y > 0\).
Từ phương trình thứ hai suy ra: \(x + y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5 \Rightarrow y = 5 - x\) thay vào phương trình thứ nhất ta được:
\({3^{ - x}}{.2^{ {5 - x}}} = 1152 \)

\(\Leftrightarrow {3^{ - x}}{.2^{ - x}}{.2^5} = 1152\)

\(\Leftrightarrow {6^{ - x}}.32 = 1152 \)

\(\Leftrightarrow {6^{ - x}} = 36 \Leftrightarrow x =  - 2\)
Với \(x = -2\) ta có \(y = 5 – (-2) =7\). 
Vậy \(S = \left\{ {\left( { - 2;7} \right)} \right\}\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - {y^2} = 2 \hfill \cr 
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện

\(\left\{ \matrix{
x + y > 0 \hfill \cr 
x - y > 0 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = 2\\
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}\left( {x - y} \right) = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = {\log _2}2\\
{\log _2}\left( {x + y} \right) - \frac{{{{\log }_2}\left( {x - y} \right)}}{{{{\log }_2}3}} = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \right] = 1\\
{\log _2}\left( {x + y} \right) - \frac{1}{{{{\log }_2}3}}{\log _2}\left( {x - y} \right) = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _2}\left( {x + y} \right) + {\log _2}\left( {x - y} \right) = 1\\
{\log _2}\left( {x + y} \right) - {\log _3}2{\log _2}\left( {x - y} \right) = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Đặt u = \({\log _2}\left( {x + y} \right)\) và v = \({\log _2}\left( {x - y} \right)\) ta được hệ

\(\left\{ \matrix{
u + v = 1 \hfill \cr 
u - v.{\log _3}2 = 1 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
u = 1 \hfill \cr 
v = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{
{\log _2}\left( {x + y} \right) = 1 \hfill \cr 
{\log _2}\left( {x - y} \right) = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = 2 \hfill \cr 
x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr 
y = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ {\left( {{3 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}\)