Bài 70 trang 88 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho \(A, B\) là hai điểm phân biệt và \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

a) Ta kí hiệu \({P_A}\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(A\) (không kể đường thẳng \(d\)). Gọi \(N\) là một điểm của \({P_A}\) và \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(NB\) và \(d.\) Hãy so sánh \(NB\) với \(NM + MA;\) từ đó suy ra \(NA < NB.\) 

b) Ta kí hiệu \({P_B}\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) có chứa điểm \(B\) (không kể điểm \(d\)). Gọi \(N’\) là một điểm của \({P_B}.\) Chứng minh rằng \(N’B < N’A.\)

c) Gọi \(L\) là một điểm sao cho \(LA < LB.\) Hỏi điểm \(L\) nằm ở đâu, trong \({P_A},{P_B}\) hay trên \(d\)?

Lời giải chi tiết

a)

- Ta có \(M\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(MA = MB.\)

Vì \(M\) nằm giữa đoạn \(NB\) nên:

    \(NB = NM + MB\) hay \(NB = NM + MA\) (vì \(MB = MA\))

Vậy \(NB = NM + MA\)

- Trong \(ΔNMA\) có: \(NA < NM + MA\) (bất đẳng thức tam giác).

Vì \(NM + MA = NB\) nên \(NA < NB\) (điều phải chứng minh).

b) Nối \(N'A\) cắt \((d)\) tại \(P.\) Vì \(P\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(AB\) nên: \(PA = PB\)

Ta có: \(N'A = N'P + PA = N'P + PB\)

Trong \(ΔN'PB\) ta có: \(N'B < N'P + PB\)

Do đó: \(N'B < N'A\) (điều phải chứng minh)

c)

- Vì \(LA < LB\) nên \(L\) không thuộc đường trung trực \(d.\)

- Từ câu b) ta suy ra với điểm \(N'\) bất kì thuộc \(PB\) thì ta có \(N'B < N'A.\) Do đó, để \(LA < LB\) thì \(L\) không thuộc \(P_B.\)

- Từ câu a) ta suy ra với điểm \(N\) bất kì thuộc \(PA\) thì ta có \(NA < NB.\) Do đó, để \(LA < LB\) thì \(L\) thuộc \(P_A.\)