Bài 67 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(MNP\) với đường trung tuyến \(MR\) và trọng tâm \(Q.\)

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MPQ\) và \(RPQ.\)

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \(MNQ\) và \(RNQ.\)

Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác \(QMN, QNP, QPM\) có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ \(PB   \perp  MR\) tại \(B\).

Vậy tam giác \(MPQ\) và \(RPQ\) có chung đường cao \(PB.\)

Vì \(Q\) là trọng tâm của \(∆MNP\) nên điểm \(Q\) thuộc đường trung tuyến \(MR\) và  \(MQ = 2QR.\)

Ta có:  \( S_{\Delta MPQ}= \dfrac{1}{2}MQ.PB\)\(\,= \dfrac{1}{2}. 2QR.PB =QR.PB \)

và       \(S_{\Delta RPQ}= \dfrac{1}{2}QR.PB \)
Vậy:    \(\dfrac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2 \)    (1)

b) Vẽ \(NA   \perp  MR\) tại \(A\)

Vậy tam giác \(MNQ\) và \(RNQ\) có chung đường cao \(NA.\)

Vì \(Q\) là trọng tâm của \(∆MNP\) nên điểm \(Q\) thuộc đường trung tuyến \(MR\) và  \(MQ = 2QR.\)

Ta có:  \( S_{\Delta MNQ}= \dfrac{1}{2}MQ.NA\)\(= \dfrac{1}{2}. 2QR.NA =QR.NA \)

và       \(S_{\Delta RNQ}= \dfrac{1}{2}QR.NA \)
Vậy:    \(\dfrac{S_{\Delta MNQ}}{S_{\Delta RNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2 \)    (2)

c) Hai tam giác \(∆RPQ\) và \(∆RQN\) có chung đường cao kẻ từ \(Q\) và \(PR = RN\) nên \({S_{RPQ}} = {S_{RQN}}\)

Vì \({S_{RPQ}} + {S_{RQN}} = {S_{QNP}}\) 

Nên \({S_{QNP}} = 2{S_{RPQ}} = 2{S_{RQN}}\) hay \(\dfrac{S_{\Delta QNP}}{S_{\Delta RPQ}} =2\)   (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \({S_{MNQ}} ={S_{QNP}} ={S_{MPQ}}\)