Bài 66 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Đố: Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình \(58\). Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sao cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến bốn điểm dân cư này là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là nơi phải đặt nhà máy. \(A, B, C, D\) lần lượt là bốn điểm dân cư.

Tổng khoảng cách từ nhà máy đến \(4\) khu dân cư là: \(OA + OB + OC + OD.\)

Ta có:

+ Nếu \(O\) nằm trên đoạn \(AC\) (và \(O\) không trùng với giao điểm của \(AC\) và \(BD\)) thì \(\left. {\matrix{ {OA + OC = AC}  \cr {OB + OC > BD} \cr } } \right\} \)\( \Rightarrow  OA + OB + OC + OD > AC \)\(+ BD\)

+ Nếu \(O\) trùng với \(M\) nằm trên đoạn \(BD\) (và \(O\) không trùng với giao điểm của \(AC\) và \(BD\) (hình vẽ dưới)) thì \(\left. {\matrix{ {OB + OD = BD}  \cr {OA + OC > AC}  \cr  } } \right\} \)\( \Rightarrow  OA + OB + OC + OD > AC \)\(+ BD\)

+ Nếu \(O\) (trùng với \(M\)) không nằm trên \(AC\) và \(BD\) (hình vẽ dưới) thì theo bất đẳng thức tam giác ta có: \(\left. {\matrix{ {OA + OC > AC}  \cr {OB + OD > BD}  \cr } } \right\} \)\(\Rightarrow \; OA + OB + OC + OD > AC \)\(+ BD\)

+ Nếu \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) thì \(OA + OB + OC + OD = AC + BD\)

- Vậy khi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) thì tổng khoảng cách từ nhà nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.