Bài 69 trang 88 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hai đường thẳng phân biệt không song song \(a\) và \(b\), điểm \(M\) nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua \(M\) lần lượt vẽ đường thẳng \(c\) vuông góc với \(a\) tại \(P\), cắt \(b\) tại \(Q\) và đường thẳng \(d\) vuông góc với \(b\) tại \(R,\) cắt \(a\) tại \(S.\) Chứng minh rằng đường thẳng qua \(M,\) vuông góc với \(SQ\) cũng đi qua giao điểm của \(a\) và \(b.\)

Lời giải chi tiết

Vì \(a\) và \(b\) không song song nên giả sử chúng cắt nhau tại \(A.\)

Xét \(ΔAQS\) có:

    \(QP ⊥ AS\) (vì \(QP ⊥ a\)) nên \(QP\) là đường cao của tam giác \(AQS\)

    \(SR ⊥ AQ\) (vì \(SR ⊥ b\)) nên \(SR\) là đường cao của tam giác \(AQS\)

Ta có \(QP\) và \(RS\) cắt nhau tại \(M.\) Vậy \(M\) là trực tâm của \(ΔAQS.\)

\( \Rightarrow\) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(QS\) tại \(H\) sẽ là đường cao thứ ba của \(ΔAQS.\)

Vậy \(MH\) phải đi qua đỉnh \(A\) của \(ΔAQS\) hay đường thẳng vuông góc với \(QS\) đi qua giao điểm của \(a\) và \(b\) (điều phải chứng minh).