Bài 66 trang 58 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Tìm các hệ số \(a, b\) sao cho parabol \(y = 2{x^2} + ax + b\) tiếp xúc với hypebol \(y = {1 \over x}\) tại điểm \(M\left( {{1 \over 2};2} \right)\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(f\left( x \right) = 2{x^2} + ax + b;\,g\left( x \right) = {1 \over x}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 4x + a;g'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Parabol tiếp xúc với hypebol tại \(M\left( {{1 \over 2};2} \right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
f\left( {{1 \over 2}} \right) = g\left( {{1 \over 2}} \right) = 2 \hfill \cr 
f'\left( {{1 \over 2}} \right) = g'\left( {{1 \over 2}} \right) \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{1 \over 2} + {a \over 2} + b = 2 \hfill \cr 
4.{1 \over 2} + a = - {1 \over {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + 2b = 3 \hfill \cr 
a + 2 = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 6 \hfill \cr 
b = {9 \over 2} \hfill \cr} \right.\)