Bài 61 trang 56 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu \({v_o} > 0\) từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ \(O\), nghiêng một góc  \(\alpha \) với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng \(Oxy\) và tạo với trục hoành \(Ox\) góc \(\alpha \) ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) ( \(g\) là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right),\,\left( {{\gamma _\alpha }} \right)\) luôn tiếp xúc với parabol \((P)\) có phương trình là: \(y =  - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm \((P)\) được gọi là parabol an toàn).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(y =  - {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha\)

\( \Rightarrow y' =- {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha   \)

\(y =  - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\)

\(\Rightarrow y'= - {g \over {v_o^2}}x\)

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
- {g \over {2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha = - {g \over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} \over {2g}} \hfill \cr 
- {g \over {v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha = - {g \over {v_o^2}}x \hfill \cr} \right.\)

Xét phương trình thứ hai trong hệ:

\(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow - \frac{g}{{v_0^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha + \frac{g}{{v_0^2}}x = 0\\
\Leftrightarrow \frac{g}{{v_0^2}}x\left( { - 1 - {{\tan }^2}\alpha + 1} \right) + \tan \alpha = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}x = - \tan \alpha \\
\Leftrightarrow x = \left( { - \tan \alpha } \right):\frac{{ - g{{\tan }^2}\alpha }}{{v_0^2}}\\
\Leftrightarrow x = \frac{{v_0^2}}{{g\tan \alpha }}
\end{array}\)

Thay \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\) và pt thứ nhất trong hệ ta thấy thỏa mãn.

Vậy với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau.

Hoành độ tiếp điểm là \(x = {{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là

\(y =  - {g \over {2v_o^2}}{\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }}} \right)^2} + {{v_o^2} \over {2g}}\) \( = {{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {1 \over {{{\tan }^2}\alpha }}} \right)={{v_o^2} \over {2g}}{\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \)

Điểm \(\left( {{{v_o^2} \over {g\tan \alpha }};{{v_o^2} \over {2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\) là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha  \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)