Bài 64 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr 
(m + 1)x \ge 3 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: x² + 2x – 15 < 0 ⇔ -5 < x < 3

Ta xét bất phương trình: (m + 1)x ≥ 3  (*)

+ Nếu m = -1 thì S = Ø

+ Nếu m > -1 thì: \((*) \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\)

Hệ có nghiệm: 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over {m + 1}} < 3 \hfill \cr 
m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 0 \hfill \cr 
m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

+ Nếu m < -1 thì \((*) \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\)

Hệ có nghiệm: 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over {m + 1}} > - 5 \hfill \cr 
m + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3 < - 5m - 5 \hfill \cr 
m < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {8 \over 5}\)

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 

\(\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr 
m > 0 \hfill \cr} \right.\)